题目内容

设函数f(x)=
sinθ
3
x3+
3
cosθ
2
x2+tanθ，其中θ∈[0，
5π
12
]，则导数f′（1）的取值范围是
 
．
分析：先对函数f(x)=
sinθ
3
x3+
3
cosθ
2
x2+tanθ进行求导，然后将x=1代入，再由两角和与差的公式进行化简，根据θ的范围和正弦函数的性质可求得最后答案．
解答：解：∵f(x)=
sinθ
3
x3+
3
cosθ
2
x2+tanθ，
∴f'（x）=sinθx2+
3
cosθx
∴f′（1）=sinθ+
3
cosθ=2sin（θ+
π
3
）
∵θ∈[0，
5π
12
]，∴θ+
π
3
∈[
π
3
，
3π
4
]
∴sin（θ+
π
3
）∈[
2
2
，1]
∴f′（1）∈[
2
，2]
故答案为：[
2
，2]．
点评：本题主要考查函数的求导运算和两角和与差的正弦公式的应用．考查基础知识的简单综合．高考对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意基础知识的积累和基础题的练习．
练习册系列答案
相关题目
（2011•安徽模拟）设函数f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
，x∈[0，π]
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f(B)=1，b=1，c=
3
，求a的值．
设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
)，给出以下四个论断：
①它的图象关于直线x=
π
12
对称；     
②它的图象关于点(
π
3
，0)对称；
③它的周期是π；                   
④在区间[0，
π
6
)上是增函数．
以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的命题：
条件
①③
①③
结论
②
②
；（用序号表示）
设函数f(x)=sin(ωx+
π
4
)(x∈R，ω＞0)的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f(x)•f(-x)=
1
4
，x∈(
π
4
，
π
2
)，求tanx的值．
设函数f(x)=sin(2x+
π
3
)，则下列结论正确的是（　　）
设函数f(x)=sinωx+2
3
sin2
ωx
2
（ω＞0）的最小正周期为
2π
3
．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若将y=f（x）的图象向左平移
π
2
个单位可得y=g（x）的图象，求不等式g(x)≥2
3
的解集．

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