Question

18．在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，数列{a_na_n+1}是公比为（q＞0）的等比数列，则数列{a_n}的前2n项和S_2n=$\frac{3（1-{q}^{n}）}{1-q}$．

Answer 1

分析 根据题意，由数列{a_na_n+1}是公比为（q＞0）的等比数列，可得$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=q，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=q，结合数列{a_n}的前2项，可得数列{a_n}的通项公式，进而利用分组求和法计算可得答案．

解答 解：根据题意，数列{a_na_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，
则$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=q，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=q，
故对于数列{a_n}，有a₁=1，a₂=2，
则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1×{q}^{\frac{n-1}{2}}}n为奇数\\{2×{q}^{\frac{n-2}{2}}}n为偶数\end{array}\right.$，
数列{a_n}的前2n项和S_2n=（a₁+a₃+…a_2n-1）+（a₂+a₄+…a_2n）=$\frac{1×（1-{q}^{n}）}{1-q}$+$\frac{2×（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{3（1-{q}^{n}）}{1-q}$；
故答案为：$\frac{3（1-{q}^{n}）}{1-q}$．

点评 本题考查数列的前n项和的计算，涉及等比数列的通项公式，关键是明确数列{a_na_n+1}是等比数列分析得到数列{a_n}的通项．