Question

【题目】如图，四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，，，，分别是，的中点.

（1）①求证：平面；

②求线段的长度；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②；（2）.

【解析】

（1）①通过证明面面，再利用面面平行的性质得证；②由余弦定理求解即可；

（2）法一：作出图象，设到平面的距离设为，利用等体积法求出，进而可得直线与平面所成角的正弦值为．

法二：利用面面垂直的判定定理可证出平面平面，建立空间直角坐标系，通过空间向量法，求出直线与平面所成角的正弦值.

解：（1）①证明：取中点，

则，，

∵，，

∴平面平面，

∴平面.

②由①可知：

，，，

由余弦定理得到：

.

（2）解法一：∵，，

∴，

又，，

∴平面，

∴平面平面，

延长到，使得，

则面，，

∵，，

∴，

∵是的中点，.

到平面的距离设为，

体积法求得：

，

∴，

∴.

解法二：∵，，

∴，

又，，

∴平面，

∴平面平面，

以为坐标原点建立空间坐标系，得到

，，，

延长到，使得，

则面，，

则，，

∴，由于，，

则法向量，

∴直线与平面所成角的正弦值为.