Question

【题目】如图，四棱锥的底面是菱形，且，其对角线、交于点， 、是棱、上的中点.

（1）求证：面面；

（2）若面底面， ， ， ，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：

（1）由是菱形可得，又，所以，于是可得平面；又由可得平面，从而可得平面面．（2）在中由余弦定理可得，于是，可得．根据题意可得点到面的距离即为点到的距离，且为，又根据题意得点到面的距离为点到面的距离的一半，可得．

试题解析：

（1）证明：因为底面是菱形，

所以是的中点，且，

又、是棱、上的中点，

所以，

所以，

又 面， 面，

所以平面．

又在中， ，且 面， 面，

所以平面，

又，

所以平面面．

（2）解：在中， ，

所以，

由（1）知， ，

所以，

所以，

因为平面底面，平面 底面，

所以点到面的距离即为点到的距离．

又在菱形中， ， ，

所以点到的距离为，

因为、、是、、的中点，平面面，

所以点到面的距离为点到面的距离的一半，

所以．