Question

（1）设集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈（M∩P）”的什么条件？
（2）求使不等式4mx²-2mx-1＜0恒成立的充要条件．

Answer 1

分析：（1）由“x∈M，或x∈P”⇒“x∈M∪P”，“x∈M∩P”⇒“x∈M，且x∈P”⇒“x∈M，或x∈P”，知“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．
（2）当m=0时，不等式显然成立；当m≠0时，根据二次函数图象的性质得到m的取值范围．两者取并集即可得到m的取值范围．从而得出使不等式4mx²-2mx-1＜0恒成立的充要条件．

解答：解：（1）x∈M或x∈P⇒x∈R，x∈（M∩P）?x∈（2，3），
因为x∈M或x∈P不能推出x∈（M∩P），
但x∈（M∩P）⇒x∈M或x∈P．
故“x∈M或x∈P”是“x∈（M∩P）”的必要不充分条件．
（2）当m≠0时，不等式4mx²-2mx-1＜0恒成立⇒

4m＜0 T△=4m2+16m＜0

?-4＜m＜0．
又当m=0时，不等式4mx²-2mx-1＜0，对x∈R恒成立．
故使不等式4mx²-2mx-1＜0恒成立的充要条件是-4＜m≤0．

点评：本题考查充分条件、必要条件、充要条件、不充分不必要条件的判断和应用，是基础题．