Question

对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数．① 对任意的，总有；

② 当时，总有成立．

已知函数与是定义在上的函数．

（1）试问函数是否为函数？并说明理由；

（2）若函数是函数，求实数的值；

（3）在（2）的条件下，若方程有解，求实数的取值范围．

Answer 1

解：（1）当时，总有满足①……………………………1分

当时，

满足②………3分

所以函数为函数；………………………………………………………4分

（2）因为函数是函数，根据①有，……………6分

根据②有，

…………………………………………………7分

因为，

所以，，其中和不能同时取到，

于是，……………………8分

所以，即，……………9分

于是…………………………………………………………………………10分

另解：因为函数是函数，根据①有，…………6分

根据②有

………………………………8分

取得…………………………………………………………9分

于是…………………………………………………………………………10分

（3）根据（2）知，原方程可以化为，…………………11分

由，……………………………………………………12分

令，则，……………………………13分

因此，当时，方程有解