Question

对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。

①对任意的，总有；

②当时，总有成立。

已知函数与是定义在上的函数。

（1）试问函数是否为函数？并说明理由；

（2）若函数是函数，求实数的值；

（3）在（2）的条件下，讨论方程解的个数情况。

 

Answer 1

【答案】

(1) 函数是函数,(2) (3)

【解析】

试题分析：

（1）根据函数的定义，验证函数的两个条件，即可判断；

（2）根据因为函数是函数，利用函数的两个条件，即可求得实数的值；

（3）根据（2）知，原方程可以化为，再利用换元法，即可求实数的取值范围．

对考查新定义的题要与熟悉的已知函数性质比较,参考其性质及运算特征进行计算，对新定义熟悉性质后求参数的取值，把方程解的情况转化成求值域，利用换元法、配方法求函数的值域；解题的关键是正确理解新定义．

试题解析：

（1）当时，总有满足①

当时

满足②

所以函数是函数.

（2）

Ⅰ当时，不满足①，所以不是是函数

Ⅱ当时，在上是增函数,则,满足①

由 ,得

即

因为

所以，与不同时等于1

所以

所以

当时, 即于是

综上所述:

(3) 根据（2）知，原方程可以化为

由得

令,则在单调递增且值域为

所以，当时，方程有一解

当时方程无解

考点：函数恒成立问题．