Question

【题目】已知幂函数满足．

（1）求函数的解析式；

（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在使得的最小值为0；（3）．

【解析】试题分析：（1）由为幂函数可得，解得或，经验证。（2）令，则，设，则将问题转化为函数在上的最小值是否为0的问题。根据对称轴与区间的关系求解，可得满足题意。（3）由题意得，且在定义域内为单调递减函数，若存在实数a,b满足题意，则可得，由②-①消去n得，从而，将③代入②得，再令，由得，所以将问题转化为求在

上的取值范围，根据二次函数的知识可得。

试题解析：

（1）∵是幂函数，

∴，

解得或，

当时， ，不满足，

当时， ，满足，

∴

∴。

（2）令，则，

设，

①当，即时，由题意得

，

解得；

②当，即时，由题意得

，

解得（舍去）；

③当，即时，由题意得

，

解得（舍去）

综上存在使得的最小值为0。

（3）由题意得，

∴在定义域内为单调递减函数；

若存在实数，使函数在上的值域为，

则，

由②-①，得

，

∴，

将③代入②得，

，

令，

∵，

∴，

又，故在区间上单调递减，

∴。

∴存在实数，使函数在上的值域为且实数的取值范围为

．