Question

已知函数y=（

1

3

） x2-2x-1
（1）求函数的定义域与值域；
（2）确定函数的单调区间．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据指数函数和二次函数的性质即可求出定义域，再根据指数函数的单调性和二次函数的最小值，即可求出值域，
（2）根据复合函数的单调性即可求出单调区间，同增异减．

解答： 解：（1）设u=x²-2x-1，
由于函数y=(

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)u和u=x²-2x-1的定义域都是（-∞，+∞），
故y=（

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3

） x2-2x-1的定义域为（-∞，+∞），
又u=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2，
因为函数y=(

1

3

)u为减函数，0＜y≤(

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)-2=9，
故函数的值域为（0，9]．
（2）由二次函数的性质可知，u=x²-2x-1，在（-∞，1]上为减函数，在（1，+∞）为增函数，
又函数y=(

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)u为减函数，
根据复合函数的单调性可知，
函数y=（

1

3

） x2-2x-1在（-∞，1]上为增函数，在（1，+∞）为减函数．

点评：本题主要考查了复合函数的定义域值域和单调性，属于基础题．