Question

过圆x²+y²=16内一点P的最短弦长为2

7

，且到直线3x+4y-20=0的距离为1，则点P的坐标是

(

9

5

，

12

5

)

．

Answer 1

分析：利用垂径定理得到直径OP垂直于过点P最短的弦，由圆的半径及弦长的一半，利用勾股定理求出弦心距，即为圆心O到P的距离，设P的坐标为（a，b），利用两点间的距离公式列出关于a与b的方程，记作①，再由P到直线3x+4y-20=0的距离为1，利用点到直线的距离公式列出关于a与b的另一个方程，记作②，联立①②组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出P的坐标．

解答：解：由圆x²+y²=16，得到圆心坐标为（0，0），半径r=4，
又圆内过P最短弦长为2

7

，
∴|OP|=

42-( 2 7 2 )2

=3，
设P（a，b），则有a²+b²=9①，
又点P到直线3x+4y-20=0的距离为1，
∴

|3a+4b-20|

32+42

=1②，
联立①②解得：

a= 9 5 b= 12 5

，
则点P的坐标为（

9

5

，

12

5

）．
故答案为：（

9

5

，

12

5

）

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，以及二元一次方程组的解法，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．