Question

点P是圆x²+y²=16上的一个动点，过点P作D垂直于x轴，垂足为D，Q为线段PD的中点．
（Ⅰ）求点Q的轨迹方程．
（Ⅱ）已知点M（1，1）为上述所求方程的图形内一点，过点M作弦AB，若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设Q（x，y），P（x₀，y₀），则D（x₀，0），由Q为线段PD的中点，知

x0=x y0=2y

，由P（x₀，y₀）在圆x²+y²=16上，知x₀²+y₀²=16，由此能求出点Q的轨迹方程．
（Ⅱ）设直线AB的方程为y-1=k（x-1）．由

y=k(x-1)+1 x2 16 + y2 4 =1

，得（1+4k²）x+8k（1-k）x+4（1-k）²-16=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1+x2=

8k(k-1)

1+4k2

，而M（1，1）是AB中点，则

x1+x2

2

=1，由此能求出直线方程．

解答：解：（Ⅰ）设Q（x，y），P（x₀，y₀），则D（x₀，0），
∵Q为线段PD的中点，∴

x=x0 y= y0 2

，即

x0=x y0=2y

，
∵P（x₀，y₀）在圆x²+y²=16上，
∴x₀²+y₀²=16，
∴x²+（2y）²=16，即

x2

16

+

y2

4

=1为所求．…（5分）
（Ⅱ）依题意显然AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，
则AB的方程可设为y-1=k（x-1）．
由

y=k(x-1)+1 x2 16 + y2 4 =1

，得x²+4（kx+1-k）²=16，
得（1+4k²）x+8k（1-k）x+4（1-k）²-16=0…（8分）
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1+x2=

8k(k-1)

1+4k2

，
而M（1，1）是AB中点，则

x1+x2

2

=1，
∴

8k(k-1)

1+4k2

=2，，解得k=-

1

4

．
∴直线AB的方程为y-1=-

1

4

(x-1)，即x+4y-5=0…（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．