Question

已知函数.
（Ⅰ）求的极值； 
（II）判断y=f(x)的图像是否是中心对称图形，若是求出对称中心并证明，否则说明理由；
（III）设的定义域为,是否存在.当时，的取值范围是？若存在,求实数、的值；若不存在，说明理由

Answer 1

是的一个极大值, 是的一个极小值.
、不存在

解：(I)  .注意到，即，
得或．所以当变化时，的变化情况如下表：

所以是的一个极大值, 是的一个极小值.

证法1：方程（曲线）观点要证f(x)的图像关于对称，只需证明点Q也在y=f(x)上，即证

(II) 点的中点是,所以的图象的对称中心只可能是.

 
设为的图象上一点,关于的对称点是Q，
因，又
所以，

证2：函数的观点证明中心对称：要证y=f(x)图像关于点对称，只需证

即点也在函数y=f(x)的图像上。

 
设为的图象上一点,关于的对称点是……
(III) 假设存在实数、.,或.
若, 当时, ,而.故不可能…
若,当时, ,而.故不可能….
若,由的单调递增区间是,知是的两个解.而无解. 故此时的取值范围是不可能是.
综上所述,假设错误,满足条件的实数、不存在.