题目内容
11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx+cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx-sinωx，2sinωx）（ω＞0），若函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的相邻两对称轴间的距离等于$\frac{π}{2}$．（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且f（C）=1，c=2，且sinC+sin（B-A）=3sin2A，求△ABC的面积．
分析 （Ⅰ）由数量积的坐标表示得到f（x），降幂后利用辅助角公式化积，代入周期公式求ω的值；
（Ⅱ）由f（C）=1求得C，由已知得到sinBcosA=3sinAcosA．然后分cosA=0和cosA≠0分类求解求得△ABC的面积．
解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（sinωx+cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx-sinωx，2sinωx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=${cos^2}ωx-{sin^2}ωx+2\sqrt{3}cosωx•sinωx$=$cos2ωx+\sqrt{3}sin2ωx$=$2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，
∵ω＞0，∴函数f（x）的周期T=$\frac{2π}{2ω}=π$，则ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∵f（C）=1，∴$sin（2C+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，而$\frac{π}{6}＜2C+\frac{π}{6}＜\frac{13}{6}π$，
∴$2C+\frac{π}{6}=\frac{5}{6}π$，得$C=\frac{π}{3}$．
由 C=π-（A+B），得sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA，
∵sinC+sin（B-A）=3sin2A，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA，
整理得sinBcosA=3sinAcosA．
若cosA=0，即A=$\frac{π}{2}$时，△ABC是直角三角形，且B=$\frac{π}{6}$，
于是b=ctanB=2tan$\frac{π}{6}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
若cosA≠0，则sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a．①
由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcos60°②
联立①②，结合c=2，解得a=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，b=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$×$\frac{6\sqrt{7}}{7}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$．
综上，△ABC的面积为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\frac{3\sqrt{3}}{7}$．
点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了平面向量的数量积运算，训练了利用正弦定理和余弦定理求解三角形，是中档题．
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