Question

19．如图，抛物线C₁：y²=2px与椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．
（1）求抛物线C₁的方程；
（2）过A点作直线L交C₁于C、D两点，求线段CD长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形面积公式求得B点的纵坐标，代入椭圆方程，求得B点横坐标，代入抛物线方程求p的值，即可写出抛物线方程；
（2）设出C和D点的坐标及直线CD的方程，代入抛物线方程，求得关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系，写出y₁+y₂和y₁y₂的表达式，根据抛物线弦长公式，求得CD的最小值．

解答 解：（1）$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，焦点在轴，顶点A（4，0），
∵△OAB的面积为$\frac{8\sqrt{6}}{3}$，S_△OAB=$\frac{1}{2}$x_A•y_B=$\frac{8\sqrt{6}}{3}$，
∴y_B=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
将y_B=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，代入椭圆方程得x_B=$\frac{4}{3}$，
∴B点坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{4\sqrt{6}}{3}$），
将B点坐标代入抛物线方程：求得（$\frac{4\sqrt{6}}{3}$）²=2P×$\frac{4}{3}$，解得p=4，
∴抛物线C₁的方程是：y²=8x．  …（5分）
（2）抛物线C₁y²=8x的焦点为A（2，0）． 
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直线CD的方程为：x-4=my，将直线方程代入y²=8x，得：y²-8my-32=0，
由韦达定理可知：y₁+y₂=8m，y₁y₂=-32，…（7分）
∴丨CD丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{64（{m}^{2}+2）}$，
=8$\sqrt{{m}^{4}+3{m}^{2}+2}$，
=8$\sqrt{（{m}^{2}+\frac{3}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}$，
∴当m²=0时，CD长度取最小值，最小值为8$\sqrt{2}$．  …（12分）

点评 本题考查抛物线方程的求法及弦长公式，直线与圆锥曲线的综合应用，注意韦达定理的合理运用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．