Question

20．已知函数f（x）=sin²x+asinxcosx-cos²x，且f（$\frac{π}{4}$）=1．
（1）求常数a的值；
（2）求f（x）的最小正周期、最小值．

Answer 1

分析 （1）代值计算即可，
（2）根据倍角公式和两角差的正弦公式化简，再求出周期和最值．

解答 解：（1）f（x）=sin²x+asinxcosx-cos²x=-cos2x+$\frac{a}{2}$sin2x，
∵f（$\frac{π}{4}$）=1，
∴-cos$\frac{π}{2}$+$\frac{a}{2}$sin$\frac{π}{2}$=1，
解得a=2，
（2）由（1）知f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，最小值为-$\sqrt{2}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式以及倍角公式，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．