Question

已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).

(1)求抛物线C的方程;

(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.

Answer 1

解:(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则

=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.

由消去y,整理得x2-4kx-4=0,

所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.

由

解得点M的横坐标xM===.

同理,点N的横坐标xN=.

所以|MN|=|xM-xN|=

=8

=.

令4k-3=t,t≠0,则k=.

当t>0时,|MN|=2>2.

当t<0时,|MN|=2≥.

综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.