Question

12．已知lna-ln3=lnc，bd=-3，则（a-b）²+（d-c）²的最小值为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{10}}{5}$
• B． $\frac{18}{5}$
• C． $\frac{16}{5}$
• D． $\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 lna-ln3=lnc，化为ln$\frac{a}{3}$=lnc，即a=3c．bd=-3，令y=3x，y=$\frac{-3}{x}$，则（a-b）²+（d-c）²表示直线y=f（x）=3x上的点与曲线y=g（x）=$\frac{-3}{x}$上的点的最小距离的平方．利用导数的几何意义求出切点，再利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：lna-ln3=lnc，化为ln$\frac{a}{3}$=lnc，即a=3c．bd=-3，
令y=3x，y=$\frac{-3}{x}$，则（a-b）²+（d-c）²表示直线y=f（x）=3x上的点与曲线y=g（x）=$\frac{-3}{x}$上的点的最小距离的平方．
设直线y=f（x）=3x+m与曲线y=g（x）=$\frac{-3}{x}$相切于点P（x₀，y₀）．不妨取（x₀＞0）
g′（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$，∴$\frac{3}{{x}_{0}^{2}}$=3，解得x₀=1．
可得切点P（1，-3），∴-3=3+m，解得m=-6．
∴切点到直线y=3x的距离d=$\frac{|3-（-3）|}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．
∴（a-b）²+（d-c）²的最小值=$（\frac{3\sqrt{10}}{5}）^{2}$=$\frac{18}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查了导数的几何意义、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．