Question

已知，其中是自然常数，

（Ⅰ）讨论时, 的单调性、极值；

（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，;

（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（I）当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，的极小值为

（II）证明略（III）存在实数，使得当时有最小值3

解析:

（Ⅰ），   ……1分

∴当时，，此时单调递减

当时，，此时单调递增    ……3分

∴的极小值为                         ……4分

（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1，

∴ ，                   ……5分

令，，  ……6分

当时，，在上单调递增  ……7分

∴ 

∴在（1）的条件下，           ……9分

（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，

                      ……9分

① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.             ……10分

②当时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件.  ……11分

③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.