Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，D是AB的中点，E是A₁C₁的中点，F是B₁B中点，异面直线CF与DE所成的角为90°．
（1）求此三棱柱的高；
（2）求二面角C-AF-B的大小．

Answer 1

分析：（1）法一：取BC、C₁C的中点分别为H、N，连接HC₁，FN交于点K，得出C₁H⊥CF，结合△HMC∽△FMK 利用平面三角形性质求出高C₁C即可．
法二：取AC中点O，以OB为x轴，OC为y轴，建立空间坐标系，给出各点的坐标求得

CF

=(

3

 ， -1 ， 

h

2

 )，  

CE

=(-

3

2

 ， 

1

2

 ， h )，由内积为0，求出高h的值
（2）连CD，得CD⊥面AA₁B₁B，作DG⊥AF，连CG，则CG⊥AF，所以∠CGD是二面角C-AF-B的平面角，在三角形CGD求解即可．

解答：解：（1）取BC、C₁C的中点分别为H、N，连接HC₁，FN交于点K，则点K为HC₁的中点，因FN∥HC，

则△HMC∽△FMK，因H为BC中点，BC=AB=2，则KN=

1

2

，FK=

3

2

，∴

HC

FK

=

HM

MK

=

2

3

，
则HM=

1

5

HC1，在Rt△HCC₁，HC²=HM•HC₁，解得HC₁=

5

，C₁C=2．
另解：取AC中点O，以OB为x轴，OC为y轴，建立空间坐标系，设棱柱高为h，则C（0，1，0），F（

3

，0，

h

2

），D( 

3

2

 ， -

1

2

 ， 0 )，E（0，0，h），

CF

=(

3

 ， -1 ， 

h

2

 )，  

CE

=(-

3

2

 ， 

1

2

 ， h )，则CF⊥DE⇒

CF

•

DE

=0⇒h=2．
（2）连CD，得CD⊥面AA₁B₁B，作DG⊥AF，连CG，则CG⊥AF，所以∠CGD是二面角C-AF-B的平面角，
又在Rt△AFB中，AD=1，BF=1，AF=

5

，从而DG=

5

5

，
∴tan∠CGD=

DC

DG

=

15

，即∠CGD=arctan

15

．

点评：本题主要考查空间角，距离的计算，线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．