Question

【题目】已知函数.

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)试探究函数在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；

(Ⅲ)若,且在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为,单调减区间为.（2）见解析（3）

【解析】试题分析：(Ⅰ) 求出，分两种种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；(Ⅱ)利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得：当时，函数有两个不同的零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数无零点；(Ⅲ)分两种情况讨论，当时，不合题意，当时，由(Ⅰ)知，函数在单调递增，则在恒成立，

，从而可得结果.

试题解析：(Ⅰ)由所以,

①当时，则有,函数在区间单调递增；

②当时， ,

所以函数的单调增区间为,单调减区间为,

综合①②的当时，函数的单调增区间为；

当时，函数的单调增区间为,单调减区间为.

(Ⅱ)函数定义域为，

又,

令,

则,

所以,

故函数在上单调递减，在上单调递增，

所以.

由(Ⅰ)知当时，对,有,

即,

所以当且趋向0时， 趋向，随着的增长， 的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，故当且趋向时， 趋向，得到函数的草图如图所示，

①当时，函数有两个不同的零点；

②当时，函数有且仅有一个零点；

③当时，函数无零点.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知当时， ,故对,

先分析法证明： ,

要证，

只需证,

即证,

构造函数),

所以,

故函数在单调递增， ,

则成立，

①当时，由(Ⅰ)知，函数在单调递增，则在恒成立，

②当时，由(Ⅰ)知，函数在单调递增，在单调递减，

故当时， ,所以,则不满足题意，

综合①②得，满足题意的实数的取值范围.