Question

【题目】设,函数.

（Ⅰ）若函数在处的切线与直线平行,求的值;

（Ⅱ）若对于定义域内的任意,总存在使得,求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率为，解得的值;（2）先根据任意存在性含义转化不等式为对应函数最值关系： 在定义域内不存在最小值,再求导数，根据a正负讨论导函数符号变化规律，进而确定单调性以及最小值取法，最后根据最小值情况确定的取值范围.

试题解析：解:（Ⅰ）函数的导函数为

,

则函数在处的切线斜率为,

依题意有,

解得.

（Ⅱ）对于定义域内的任意,总存在使得,

即为在定义域内不存在最小值,

①当时, ,无最小值,符合题意;

②当时, 的导函数为,

可得在单调递增,在单调递增,在单调递减,

即有在取得极大值,

当时, ;当时, .

取即可,

当时, 在单调递减,

且, ,

故存在,使得,

同理当时,令使得,

则有当时, 成立;

③当时, 在单调递减,在单调递增,在单调递增,

即有在处取得极小值,

当时, ;当时,

所以,

当时,不存在使得成立,

综上可得, 的取值范围是.