Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，被方向向量

m

=（6，6）的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  6

  2

• C、

  10

  2

• D、2

Answer 1

分析：设l与双曲线的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有

x12 a 2 - y12 b 2 =1 x22 a 2 - y22 b 2 =1

，两式相减，得 kAB=

y1-y2

x1-x2

=-

b2(x1+x2)

a 2(y1+y2)

，由此能求出a，b的关系，最后求得双曲线的离心率即可．

解答：解：设l与双曲线的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有

x12 a 2 - y12 b 2 =1 x22 a 2 - y22 b 2 =1

，两式相减，
得 kAB=

y1-y2

x1-x2

=-

b2(x1+x2)

a 2(y1+y2)

，
由直线方向向量

m

=（6，6）得k_AB=1，
截得的弦的中点为（4，1），得x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
∴

b2×8

a 2×2

=1，a²=4b²
得双曲线的离心率

c

a

=

a 2+b 2 a 2

= 

5b2 4b2

=

5

2

故选A．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质、直线与圆锥曲线的综合问题．本题考查双曲线的中点弦的求法，解题时要注意点差法的合理运用．