Question

设f（x）=ax³-

3

2

（a+2）x²+6x-3，x∈R，a是常数，且a＞0
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在x=1时取得极大值，且直线y=-1与函数f（x）的图象有三个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：分类讨论,导数的综合应用

分析：（1）对f（x）求导，讨论a取值，对应f′（x）的正负情况，得出f（x）的单调递增区间；
（2）由题意，结合（1）知0＜a＜2，求出f（x）的极大值与极小值，建立不等式组，求出a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f(x)=ax3-

3

2

(a+2)x2+6x-3，
∴f′（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3（ax-2）（x-1）；
①当0＜a＜2时，

2

a

＞1，
由f′（x）=3（ax-2）（x-1）＞0，得x＜1或x＞

2

a

，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，1）和(

2

a

，+∞)；
②当a=2时，f′（x）=6（x-1）²≥0恒成立，
且只有f′（1）=0，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）；
③当a＞2时，有

2

a

＜1，
由f′（x）=3（ax-2）（x-1）＞0，得x＜

2

a

或x＞1，
∴f（x）的单调递增区间是(-∞，

2

a

)和（1，+∞）；
（2）∵f（x）在x=1时取得极大值，
由（1）知，0＜a＜2，
∴f(x)|极大=f(1)=-

a

2

，
f(x)|极小=f(

2

a

)=-

4

a2

+

6

a

-3，
∵直线y=-1与函数f（x）的图象有三个交点，
∴-

4

a2

+

6

a

-3＜-1＜-

a

2

，
解得0＜a＜1；
∴a的取值范围是{a|0＜a＜2}．

点评：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应利用导数的正负来研究函数的单调性，利用函数的单调性来研究函数的极值，是综合性题目．