题目内容

设函数f(x)＝x2＋ax＋lg|a＋1|(a≠－1，a∈R)

(1)求证：f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，并求出g(x)和h(x)的表达式．

(2)若f(x)和g(x)在区间[|a＋1|，a2]上均为减函数，求a的取值范围．

答案：
解析：

 　　(1)解：依题意，应有奇函数g(x)，偶函数h(x)，使得：

　　(1)解：依题意，应有奇函数g(x)，偶函数h(x)，使得：

　　成立，由此得：g(x)＝[f(x)－f(－x)]＝ax，h(x)＝[f(x)＋f(－x)]＝x2＋lg|a＋1|．

　　(2)g(x)＝ax，当且仅当a＜0时，是减函数，从而a＜0．

　　f(x)＝(x＋)2＋lg|a＋1|－，f(x)在(－∞，－]上是减函数．

　　若f(x)，g(x)在区间[|a＋1|，a2]上都是减函数，其充要条件是

　　由此得－≤a＜－．


练习册系列答案
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设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)

(1)当a＝2时，求f(x)的最小值．

(2)当0＜a＜1时，判断f(x)的单调性，并写出f(x)的最小值．

设函数f(x)＝x2－2mx＋m2＋1(m∈R+)，g(x)＝x＋(k∈R+)．

(1)当x∈(0，∞)时，f(x)和g(x)都满足：存在实数a，使f(x)≥f(a)，g(x)≥g(a)且f(a)＝g(a)－m．求f(x)和g(x)的表达式；

(2)(文科不做、理科做)对于(1)中的f(x)，设实数b满足|x－b|＜1．

求证：|f(x)－f(b)|＜2|b|＋5．

设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)

(1)若f(－1)＝0，则对任意实数均有f(x)≥0成立，求f(x)的表达式．

(2)(文)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．

(理)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝xf(x)－kx是单调递增，求实数k的取值范围．

设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)

(1)若f(－1)＝0，则对任意实数均有f(x)≥0成立，求f(x)的表达式．

(2)在(1)条件下，当x∈[－2，2]，g(x)＝xf(x)－kx单调递增，求实数k的取值范围．

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