Question

（本小题满分14分）如图，已知矩形中，，，将矩形沿对角线把△折起，使移到点，且在平面上的射影恰好在上．

（1）求证：；

（2）求证：平面平面；

（3）求三棱锥的体积．

 

Answer 1

【答案】

（1）先证垂直于所在的平面，进而证明

（2）结合（1）的结论先证A₁D⊥平面A₁BC，进而再证平面平面

（3）48

【解析】

试题分析：（1）连接A₁O，

∵A₁在平面BCD上的射影O在CD上，

∴A₁O⊥平面BCD，                                                       ……2分

又BC?平面BCD  ∴BC⊥A₁O ，                                          ……3分

又BC⊥CO，A₁O∩CO=O，

∴BC⊥平面A₁CD.                                                        ……5分

又A₁D?平面A₁CD，∴BC⊥A₁D.                                             ……6分

（2）∵ABCD为矩形，∴A₁D⊥A₁B，                                        ……7分

由（1）知A₁D⊥BC，A₁B∩BC=B ∴A₁D⊥平面A₁BC，                          ……9分

又A₁D?平面A₁BD ∴平面A₁BC⊥平面A₁BD.                                ……10分

（3）由（1）BC⊥平面A₁CD 知BC是三棱锥B-A₁CD的高 ，BC="6" ,            ……11分

∵A₁D⊥平面A₁BC，

∴A₁D⊥A₁C．

∵A₁D=6，CD=10，∴A₁C=8，                                              ……12分

∴，                        

故所求三棱锥A₁-BCD的体积为48．                                      ……14分

考点：本小题主要考查空间中线面垂直和面面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

点评：证明空间中的位置关系时，要把定理中要求的条件一一列出来，缺一不可，而三棱锥是一种特殊的三棱锥，不仅经常考查三棱锥体积的求法，还经常利用等体积法求点到平面的距离.