Question

如图，四棱锥的底面为矩形，且,,,，

（Ⅰ）平面PAD与平面PAB是否垂直？并说明理由；
（Ⅱ）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）垂直；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）由得，由底面为矩形得，从而有⊥平面.而∥，所以⊥平面，再由线面垂直的性质得平面⊥平面；（Ⅱ）过点作延长线的垂线，垂足为，连接．然后可以证明⊥平面，从而为与底面所成的角．然后根据相关数据得到直角三角形各边长，最后得到直线与平面所成角的正弦值为.
试题解析：（Ⅰ）平面⊥平面
∵ ∴
∵四棱锥的底面为矩形 ∴
∵?平面，?平面，且∩ ∴⊥平面      (4分)
∵∥ ∴⊥平面 ∵?平面
平面⊥平面                                                     (6分)

（Ⅱ）如图，过点作延长线的垂线，垂足为，连接．
由（Ⅰ）可知⊥平面
∵?平面
∴平面⊥平面
∵?平面，平面⊥平面，
平面∩平面=
∴⊥平面
∴为在平面内的射影．
∴为与底面所成的角．                     (9分)
，
，在直角三角形中，

在直角三角形中，
故
在直角三角形中，，
故直线与平面所成角的正弦值.               (12分)