Question

右图为一组合体，其底面为正方形，平面，，且

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积；
（Ⅲ）求该组合体的表面积．

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）2；（3）.

试题分析：本题主要考查线线垂直、平行的判定、线面垂直的判定、几何体的体积和表面积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.第一问，利用线面平行的判定得出平面，平面，所以可得到平面平面，所以利用面面平行的性质得证结论；第二问，利用线面垂直得到线线垂直，又因为，所以得到线面垂直，所以是所求锥体的高，利用梯形面积公式求底面的面积，再利用体积公式求体积；第三问，利用已知的边的关系和长度，可以求出组合体中每一条边的长度，从而求出每一个面的面积，最后求和加在一起即可.
试题解析：（Ⅰ）∵，平面，平面，
∴平面，
同理可证：平面，
∵平面，平面，且，
∴平面平面，
又∵平面，∴平面，
（Ⅱ）∵平面，平面，
∴，
∵，
∴平面，
∵，
∴四棱锥的体积，
（Ⅲ）∵，，
∴，
又∵，，，，，
∴组合体的表面积为.