Question

【题目】已知函数.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）讨论函数的零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数；详见解析（2）当时，函数有2个零点；当时，函数有1个零点

【解析】

(1)根据奇偶函数的定义判断可得;

(2)将函数化为分段函数后,对分五种情况讨论可求得函数的零点.

(1) 当时，函数为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数,

理由如下:

当时,,,所以为偶函数;

当时,不恒等于0,所以不为奇函数,

不恒等于0,所以不为偶函数,

所以为非奇非偶函数.

(2)因为,

①当时,当时,由,可得,

当时, 由得(舍去),

所以函数有唯一零点,

②当时, ,

所以函数有唯一零点,

③当时, 当时,由,可得,

当时, 由得,

所以函数有两个零点,

④当时,函数,

所以函数有唯一零点,

⑤当时, 当时,由,可得(舍去),

当时, 由得,

所以函数有唯一零点,

综上所述: 当时，函数有2个零点；当时，函数有1个零点.