Question

【题目】已知数列满足，对任意的，都有.

(1)求数列的递推公式

(2)数列满足，求数列的通项公式;

(3)在(2)的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明你的理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，

【解析】

（1）利用成立,令,得.即可得到数列的递推公式.

（2）由（1）求出 求出,即可求出的通项公式;

（3）化简,通过的符号,求出的范围.

（1）对任意都有成立，

令，得

数列的递推公式是

（2）由（1）可知，数列是首项和公比都为的等比数列，于是

由

得

故得

当时,，

∴

∴

（3）

当时,,

依据题意,有,即

当为大于或等于的偶数时,有 恒成立,又随增大而增大

则,故的取值范围为;

当为大于或等于的奇数时，有恒成立，故的取值范围为;

当时，由，得.

综上所述的取值范围是:.