Question

【题目】设数列的各项都是正数，且对于任意都有，记为数列的前项和.

（1）计算的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，若为单调递增数列，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）.

【解析】

（1）代入，可得，从而求得；代入得，可求得；代入，可得，可求得；

（2）将两式作差整理可得；根据可整理得，进而得到，可知数列为等差数列，根据等差数列通项公式求得结果；

（3）将问题转化为恒成立，则只需；分别在为奇数和为偶数两种情况下得到和恒成立，通过求得右侧的最小值和最大值求得的范围.

（1）当时，，又各项均为正数

当时，，即，解得：

当时，，即，解得：

（2）由（1）知，当时，

当且时，……①

……②

①②得：

…③，则…④

③④得：

数列是以为首项，为公差的等差数列

（3）由（2）知：

若为单调增数列，则恒成立

即

只需

①当为奇数时，只需恒成立

当时，的最小值为

②当为偶数时，只需

当时，的最大值为

综上所述：的取值范围为