Question

（本小题满分14分）
已知 , 函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的斜率为，问：在什么范围
取值时，对于任意的，函数在区间上总存在
极值？
（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在
一个，使得成立，试求实数的取值范围．

Answer 1

解：（Ι）由题意知，定义域为…1分
则，
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.  …………4分
（Ⅱ）由得,
∴，.                ………………………5分

∴,
∵ 函数在区间上总存在极值，
∴有两个不等实根且至少有一个在区间内            …………6分
又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴                                                  …………7分
由，∵在上单调递减，
所以；∴，由，
解得；
综上得： 所以当在内取值时，对于任意，函数，在区间上总存在极值 .           …………10分
（Ⅲ）令，则
.
1. 当时，由得，从而,
所以，在上不存在使得；               …………………12分
2. 当时，,
在上恒成立，故在上单调递增.

故只要，解得     
综上所述，的取值范围是 .           …………………14分

略