Question

f（x）=ax³-3x（a＞0）对于x∈[0，1]总有f（x）≥-1成立，则a的范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：本题是关于不等式的恒成立问题，可转化为函数的最值问题来求解，先对x分类讨论：x=0与x≠0，当x≠0即x∈（0，1]时，得到：，构造函数，只需需a≥[g（x）]_max，于是可以利用导数来求解函数g（x）的最值．
解答：解：∵x∈[0，1]总有f（x）≥-1成立，
即ax³-3x+1≥0，x∈[0，1]恒成立
当x=0时，要使不等式恒成立则有a∈（0，+∞）
当x∈（0，1]时，ax³-3x+1≥0恒成立，
即有：在x∈（0，1]上恒成立，令，必须且只需a≥[g（x）]_max
由＞0得，
所以函数g（x）在（0，]上是增函数，在[，1]上是减函数，所以=4，即a≥4
综合以上可得：a≥4．
答案为：[4，+∞）．
点评：本题考查函数的导数，含参数的不等式恒成立为题，方法是转化为利用导数求函数闭区间上的最值问题，考查了分类讨论的数学思想方法．