题目内容

如图，F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为
1
2
．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1：x+
3
y+3=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，且
MP
•
MQ
=-2，求直线l2的方程．
（Ⅰ）∵F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，
椭圆的离心率为
1
2
，
∴
c
a
=
1
2
，∴
c2
a2
=1-
b2
a2
=
1
4
，∴b=
3
2
a，c=
1
2
a，
设F（-c，0），B（0，
3
2
a）=（0，
3
c），
∵kBF=
b
c
=
3
，BC⊥BF，
∴kBC=-
3
3
，∴
b
xC
=
3
3
，∴xC=
3
b=
3
2
a•
3
=
3
2
a=3c，
∴C（3c，0），
设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
把B（0，
3
c），C（3c，0），F（-c，0）代入，得：
3c2+
3
cE+F=0
9c2+3cD+F=0
c2-cD+F=0
，
解得D=-2c，E=0，F=-3c2，
∴圆M的方程为（x-c）2+y2=4c2，
∵圆M与直线l1：x+
3
y+3=0相切，
∴
|1×c+
3
×0+3|
1+3
=2c，解得c=1，
∴a=2，b=
3
，
∴所求的椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）∵A是椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1的左顶点，∴A（-2，0），
∵圆M的方程为（x-1）2+y2=1，
∴过点A斜率不存在的直线与圆不相交，
∴设直线l2的方程为y=k（x+2），
∵
MP
•
MQ
=-2，又|
MP
|=|
MQ
|=2，
∴cos＜
MP
，
MQ
＞=
MP
•
MQ
|
MP
|•|
MQ
|
=-
1
2
，
∴∠PMQ=120°，
圆心M到直线l2的距离d=
1
2
r=1，
∴
|k+2k|
k2+1
=1，解得k=±
2
4
，
∴直线l2的方程为y=±
2
4
（x+2）．
练习册系列答案
相关题目
椭圆
x2
16
+
y2
9
=1的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2的内切圆的面积为π．A，B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2-y1|的值为______．
已知直线与椭圆
x2
9
+
y2
4
=1交于A，B两点，设线段AB的中点为P，若直线的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于______．
直线l：y=k(x-
2
)与双曲线x2-y2=1仅有一个公共点，则实数k的值为（　　）
A．1B．-1C．1或-1D．1或-1或0
已知离心率为
6
3
的椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)与圆C：x2+（y-3）2=4交于A，B两点，且∠ACB=120°，C在AB上方，如图所示，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在过交点B，斜率存在且不为0的直线l，使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），已知点（1，e）和（e，
3
2
）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，若|AF1|-|BF2|=
6
2
，求直线AF的斜率．
一束光线从点（0，1）出发，经过直线x+y-2=0反射后，恰好与椭圆x2+
y2
2
=1相切，则反射光线所在的直线方程为______．
如图所示，F1、F2分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点(1，
3
2
)到F1、F2两点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F1PQ的面积．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，右焦点为F（1，0）．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点F且倾斜角为
π
4
的直线与此椭圆相交于A，B两点，求|AB|的值．

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