题目内容
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆
+
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),已知点(1,e)和(e,
)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,若|AF1|-|BF2|=
,求直线AF的斜率.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(1)求椭圆的方程;
(2)设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,若|AF1|-|BF2|=
| ||
2 |
(1)∵椭圆
+
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),
点(1,e)和(e,
)都在椭圆上,
∴
,
∵e2=
=
=1-
,
∴
+
=
+
=
+
-
=1,解得b2=1,
∵
+
=
+
=1,
∴a4-4a2+4=(a2-2)=0,解得a2=2,
∴椭圆方程为
+y2=1.
(2)∵椭圆方程为
+y2=1,∴F1(-1,0),F2(1,0),
又∵直线AF1与直线BF2平行,∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my,x-1=my.
设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0,
∴由
,得(m2+2)y12-2my1-1=0.
∴y1=
,或y1=
(舍),
∴|AF1|=
×|0-y1|=
,①
同理|BF2|=
,②
∵|AF1|-|BF2|=
,
∴由①②得|AF1|-|BF2|=
=
,解得m2=2.
∵注意到m>0,∴m=
.
∴直线AF1的斜率为
=
.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
点(1,e)和(e,
| ||
2 |
∴
|
∵e2=
c2 |
a2 |
a2-b2 |
a2 |
b2 |
a2 |
∴
1 |
a2 |
e2 |
b2 |
1 |
a2 |
1-
| ||
b2 |
1 |
a2 |
1 |
b2 |
1 |
a2 |
∵
e2 |
a2 |
3 |
4b2 |
a2-b2 |
a4 |
3 |
4b2 |
∴a4-4a2+4=(a2-2)=0,解得a2=2,
∴椭圆方程为
x2 |
2 |
(2)∵椭圆方程为
x2 |
2 |
又∵直线AF1与直线BF2平行,∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my,x-1=my.
设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0,
∴由
|
∴y1=
m+
| ||
m2+2 |
m-
| ||
m2+2 |
∴|AF1|=
m2+1 |
| ||||
m2+2 |
同理|BF2|=
| ||||
m2+2 |
∵|AF1|-|BF2|=
| ||
2 |
∴由①②得|AF1|-|BF2|=
2m
| ||
m2+2 |
| ||
2 |
∵注意到m>0,∴m=
2 |
∴直线AF1的斜率为
1 |
m |
| ||
2 |
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