题目内容

如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),已知点(1,e)和(e,
3
2
)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,若|AF1|-|BF2|=
6
2
,求直线AF的斜率.
(1)∵椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),
点(1,e)和(e,
3
2
)都在椭圆上,
1
a2
+
e2
b2
=1
e2
a2
+
3
4b2
=1

e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=1-
b2
a2

1
a2
+
e2
b2
=
1
a2
+
1-
b2
a2
b2
=
1
a2
+
1
b2
-
1
a2
=1
,解得b2=1,

e2
a2
+
3
4b2
=
a2-b2
a4
+
3
4b2
=1

∴a4-4a2+4=(a2-2)=0,解得a2=2,
∴椭圆方程为
x2
2
+y2=1

(2)∵椭圆方程为
x2
2
+y2=1
,∴F1(-1,0),F2(1,0),
又∵直线AF1与直线BF2平行,∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my,x-1=my.
设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0,
∴由
x12
2
+y12=1
x1+1=my1
,得(m2+2)y12-2my1-1=0.
y1=
m+
2m2+2
m2+2
,或y1=
m-
2m2+2
m2+2
(舍),
∴|AF1|=
m2+1
×|0-y1|
=
2
(m2+1)+m
m2+1
m2+2
,①
同理|BF2|=
2
(m2+1)-m
m2+1
m2+2
,②
∵|AF1|-|BF2|=
6
2

∴由①②得|AF1|-|BF2|=
2m
m2+1
m2+2
=
6
2
,解得m2=2.
∵注意到m>0,∴m=
2

∴直线AF1的斜率为
1
m
=
2
2
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