Question

10．在极坐标系中，定点A（2，0），点B在直线$\sqrt{3}$ρcosθ+ρsinθ=0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为（1，$\frac{5π}{3}$）．

Answer 1

分析 求出动点B在直线$\sqrt{3}$x+y=0上运动，当线段AB最短时，直线AB垂直于直线$\sqrt{3}$x+y=0，由此能求出点B的极坐标．

解答 解：∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入直线$\sqrt{3}$ρcosθ+ρsinθ=0，
可得$\sqrt{3}$x+y=0…①，
∵在极坐标系中，定点A（2，0），
∴在直角坐标系中，定点A（2，0），
∵动点B在直线$\sqrt{3}$x+y=0上运动，
∴当线段AB最短时，直线AB垂直于直线$\sqrt{3}$x+y=0，
∴k_AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
设直线AB为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），即x-$\sqrt{3}y$-2=0，…②，
联立方程①②求得交点B（$\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴ρ=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1，tan$θ=\frac{y}{x}$=$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$=-$\sqrt{3}$，∴θ=$\frac{5π}{3}$．
∴点B的极坐标为（1，$\frac{5π}{3}$）．
故答案为：（1，$\frac{5π}{3}$）．

点评 本题考查点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．