Question

四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）作AO⊥BC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO⊥底面BCDE，且O为BC中点，

由知，Rt△OCD∽Rt△CDE，从而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD.

由三垂线定理知，AD∠CE.

（Ⅱ）由题意，BE⊥BC，所以BE⊥侧面ABC，

又BE侧面ABE，所以侧面ABE⊥侧面ABC.

作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，则CF⊥平面ABE.

故∠CEF为CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45°.

由CE=，得CF=。

又BC=2，因而∠ABC=60°。所以△ABC为等边三角形。

作CG⊥AD，垂足为G，连接GE。

由（Ⅰ）知，CE⊥AD，又CECG=C，

故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。

解法二：

（Ⅰ）作AO⊥BC，垂足为O。

则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点。

以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz.

设A（0，0，t），由已知条件有

C(1,0,0), D(1, ,0),E(-1, ,0),

得AD⊥CE.

（Ⅱ）作CF⊥AB，垂足为F，连接FE.

设F（x,0,z），则

作CG⊥AD，垂足为G，连接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|=

故

所以与的夹角等于二面角C-AD-E的平面角.

知二面角C-AD-E为arccos().