题目内容
已知椭圆
的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点
的最短距离为
．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点
且斜率为
的直线
与
交于
、
两点，
是点关于
轴的对称点，证明：
三点共线．
【答案】
（1）
；（2）见解析.
【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程和性质的运用，以及直线与椭圆的位置关系的运用。
（1）利用椭圆的几何性质得到a,b,c的关系式，从而解得
（2）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和向量的关系式得到证明。
解：(I)由题可知：
…………2分
解得
，
椭圆C的方程为…………………………4分
（II）设直线
：
，
，
，
，
，
由
得
.…………6分
所以
，
. ……………………8分
而
，
，…………10分
∴
三点共线
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的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点
的最短距离为
．
且斜率为
的直线
与
交于
、
两点，
是点
轴的对称点，证明：
三点共线．
，则此椭圆的标准方程是 ．