Question

如图，四棱锥中，平面，底面为矩形，为的中点.

（1）求证：；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）当为线段的中点时，满足平面，此时.

试题分析：（1）要证线线垂直，通常只需证线面垂直，本题中要证，只需证明平面，而要证平面，又只需证垂直于平面内的两条相交直线即可，这两个垂直关系，由题中的为矩形及平面不难得到，命题得证；（2）先假设在线段上能找到一点，使得平面，此时平面平面，平面，由线面平行的性质可知，由是的中点，在中可知，也是的中点，此时再根据题中的条件，即可求出的值，最后采用综合法进行证明即可，问题得以解决.
试题解析：（1）证明：因为平面，平面，所以
又因为是矩形，所以
因为，所以平面        4分
又因为平面，所以       6分
（2）取中点，连结
因为为的中点，是的中点，所以
又因为平面，平面，所以平面    10分
此时
即在边上存在一点，使得平面，的长为    12分.