Question

如图，在四棱锥中，底面是矩形， 平面，，,于点．

(1) 求证：；
(2) 求直线与平面所成的角的余弦值.

Answer 1

(1)答案详见解析；（2）

试题分析：(1)要证明线线垂直，可考虑先证明直线和平面垂直，该题先证明平面，从而得到，又，故可证明平面，进而证明；（2）求直线和平面所成的角，需先找后求，同时要有必要的证明过程，该题中直线和平面所成的角不易找到，故可采取转化法，先求点到平面的距离，再利用，求得所求角的正弦值，进而求余弦值．故求点到平面的距离成为解题关键，可利用等体积转化法进行．
试题解析：(1)证明：∵ 平面，平面,∴.
∵，平面,平面,
∴平面.
∵平面
∴，                                    3分
∵, ,平面,
平面,∴平面.
∵平面,∴.                6分
（2）解：由（1）知，，又，
则是的中点,在Rt△中, 得，
在Rt△中,得,
∴.
设点到平面的距离为，由，    8分
得.解得，           10分
设直线与平面所成的角为，
则，                               12分
∴.
∴直线与平面所成的角的余弦值为.     14分