Question

2．已知函数f（x）=lnx+2的图象与直线y=x+a恰好有一个交点，设g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-ax，当x∈[1，2]时，不等式-m≤g（x）≤m²-4恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-e+$\frac{3}{2}$]
• B． [-e+$\frac{3}{2}$，e]
• C． [-e，e]
• D． [e，+∞）

Answer 1

分析 用导数求出曲线上某点切线方程，即可得到a的值，再利用导数求出函数g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-aX，当x∈[1，2]时的最值，再根据不等式-m≤g（x）≤m²-4恒成立，求的m的范

解答 解：∵函数f（x）=lnx+2的图象与直线y=x+a恰好有一个交点，
∴直线y=x+a与f（x）=lnx+2相切，
设曲线的切点为P（x₀，y₀），
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$=1，
∴x₀=1，
∴y₀=lnx₀+2=2，
∴1+a=2，
∴a=1，
∴g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x，
∴g′（x）=e^x-x-1，x∈[1，2]
设h（x）=e^x-x-1，x∈[1，2]
∴h′（x）=e^x-1＞0在[1，2]恒成立，
∴h（x）=e^x-x-1，x∈[1，2]为增函数，
∴h（x）_min=h（1）=e-2＞0，
∴g′（x）＞0在[1，2]恒成立，
∴g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x在[1，2]为增函数，
∴g（1）≤g（x）≤g（2），
即e$-\frac{3}{2}$≤g（x）≤e²-4，
∵当x∈[1，2]时，不等式-m≤g（x）≤m²-4恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m≤e-\frac{3}{2}}\\{{m}^{2}-4≥{e}^{2}-4}\end{array}\right.$
解得m≥e，
故选：D．

点评 本题考查了导数和函数的最值的关系，以及导数的集合意义，以及恒成立的问题，属于中档题