Question

6．等边△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE（如图所示）．
 （1）求证：平面ABC⊥平面ABE；
（2）求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取DE的中点O，取BC的中点G，连结AO，OG，以O为原点，OD为x轴，OG为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ABC⊥平面ABE．
（2）求出$\overrightarrow{AC}$=（2，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），平面ABE的法向量，利用向量法能求出直线AC与平面ABE所成角的正弦值．

解答 （1）证明：取DE的中点O，取BC的中点G，连结AO，OG，
则AO⊥DE，OG⊥DE，
∵平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，
∴AO⊥平面BCDE，∴AO⊥OG，
以O为原点，OD为x轴，OG为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
设BC=4，则DE=2，AO=OG=3，
∴A（0，0，$\sqrt{3}$），D（1，0，0），E（-1，0，0），B（-2，3，0），C（2，$\sqrt{3}$，0），
设平面ABE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
∵$\overrightarrow{EA}=（1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{EB}=（-1，3，0）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EA}={x}_{1}+\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=-{x}_{1}+\sqrt{3}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取y₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，-1$），
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
∵$\overrightarrow{BC}$=（4，0，0）＜$\overrightarrow{AC}$=（2，$\sqrt{3}，-\sqrt{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}={x}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2{x}_{2}+3{y}_{2}-\sqrt{3}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取y₂=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0+1-1=0，
∴平面ABC⊥平面ABE．
（2）$\overrightarrow{AC}$=（2，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），平面ABE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，-1$），
设直线AC与平面ABE所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{4+3+3}•\sqrt{3+1+1}}$|=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
∴直线AC与平面ABE所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．