Question

9．在四边形ABCD中，设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$且$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow a+\overrightarrow b$，$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$，则四边形ABCD的形状是（　　）

• A． 梯形
• B． 矩形
• C． 菱形
• D． 正方形

Answer 1

分析 先根据条件可判断四边形ABCD是平行四边形，而根据$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$得出$|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$，这便说明平行四边形ABCD的对角线相等，从而便可得出四边形ABCD的形状．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$；
∴四边形ABCD是平行四边形；
如图，$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$；

且$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}，|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$；
∴$|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{DB}|$；
∴平行四边形ABCD是矩形．
故选B．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及矩形的概念．