Question

18．定义数列如下：a₁=2，a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*．
求证：（1）对于n∈N^*恒有a_n+1＞a_n成立；
（2）1-$\frac{1}{{2}^{2016}}$＜$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）作差法化简a_n+1-a_n=a_n²-2a_n+1=（a_n-1）²，从而证明；
（2）化简a_n+1=a_n²-a_n+1可得$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，从而可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，从而求和，再证明不等式即可．

解答 证明：（1）∵a_n+1=a_n²-a_n+1，
∴a_n+1-a_n=a_n²-2a_n+1=（a_n-1）²≥0，
又∵a₁=2，∴a_n+1-a_n＞0，
∴对于n∈N^*恒有a_n+1＞a_n成立；
（2）∵a_n+1=a_n²-a_n+1，
∴a_n+1-1=a_n²-a_n，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，
$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$=（$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2}-1}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}-1}$-$\frac{1}{{a}_{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{2016}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$）
=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$=1-$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$＜1，
∵a_n+1-1=a_n²-a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$=a_n≥2（当且仅当n=1时，等号成立），又∵a₁-1=1，
∴a₂₀₁₇-1＞2²⁰¹⁶，
故1-$\frac{1}{{2}^{2016}}$＜1-$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$，
故1-$\frac{1}{{2}^{2016}}$＜$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$＜1．

点评 本题考查了作差法的应用及构造法及裂项求和法的应用，属于中档题．