Question

8．设a，b∈R₊且a+b=3，则ab²的最大值是2．

Answer 1

分析 化简得a=3-b，0＜b＜3；从而可得f（b）=ab²=（3-b）b²=-b³+3b，f′（b）=-3b²+3=-3（b+1）（b-1），从而求得．

解答 解：∵a，b∈R₊且a+b=3，
∴a=3-b，0＜b＜3；
f（b）=ab²=（3-b）b²=-b³+3b，
f′（b）=-3b²+3=-3（b+1）（b-1），
故f（b）在（0，1）上是增函数，
在（1，3）上是减函数；
故ab²的最大值是f（1）=2；
故答案为：2．

点评 本题考查了导数的综合应用及单调性的判断与应用．