Question

设函数f（x）=

1

2

x²-（4+a）x+6ln（x+b），g（x）=5ln（x+b）+

1

2

x²-3x，函数f（x）在x=1与x=2处取得极值．
（1）求实数a、b的值；
（2）若φ（x）=f（x）-g（x），求证：当x∈（-1，+∞）时，φ（x）≤0恒成立；
（3）证明：若x＞0，y＞0，则xlnx+ylny≥（x+y）ln

x+y

2

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导函数，根据x=1与x=2是f（x）的一个极值点，可得f'（1）=0，f′（2）=0，从而可求a，b的值；
（2）先化简φ（x）=ln（x+1）-x，根据导数与最值的关系，求出φ（x）的最大值，即可得证
（3）利用（2）的结论，以及作差法比较即可

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

x²-（4+a）x+6ln（x+b），
∴f′（x）=x-（4+a）+

6

x+b

，
∵函数f（x）在x=1与x=2处取得极值．
∴f′（1）=0，f′（2）=0，
∴

1-(4+a)+ 6 1+b =0 2-(4+a)+ 6 2+b =0

解得

a=0 b=1

，
（2）由（1）知，f（x）=

1

2

x²-4x+6ln（x+1），g（x）=5ln（x+1）+

1

2

x²-3x，
∴φ（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²-4x+6ln（x+1）-5ln（x+1）-

1

2

x²+3x=ln（x+1）-x
∴函数的定义域为（-1，+∞）
∴φ′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
令φ′（x）=0，解得x=0，
当φ′（x）＞0时，即-1＜x＜0时，函数φ（x）单调递增，
当φ′（x）＜0时，即x＞0时，函数φ（x）单调递减，
故当x=0时，函数φ（x）有极大值，φ（0）=0，
函数的极大值也是函数的最大值，
∴当x∈（-1，+∞）时，φ（x）≤0恒成立；
（3）证明：xlnx+ylny-（x+y）ln

x+y

2

=x（lnx-ln

x+y

2

）+y（lny-ln

x+y

2

）
=xln

2x

x+y

+yln

2y

x+y

，
=-xln

x+y

2x

-ln

x+y

2y

，
=-xln（1+

y-x

2x

）-yln（1+

x-y

2y

）
由（2）知，-xln（1+

y-x

2x

）-yln（1+

x-y

2y

）＞-x•

y

2x

-y•

x-y

2y

=0
∴若x＞0，y＞0，则xlnx+ylny≥（x+y）ln

x+y

2

．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识及不等式恒成立问题的证明，考查分类讨论数学思想及转化划归思想的运用能力，属难题