Question

已知中心在原点的焦点在坐标轴上的椭圆过点M(1，

4

3

2

)，N(-

3

2

2

，

2

)；求
（1）离心率e；
（2）椭圆上是否存在P（x，y）到定点A（a，0）（0＜a＜3）距离的最小值为1？若存在求a及P坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的应用

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n），由椭圆过M，N两点，求出m，n得到椭圆的方程，即得离心率；
（2）设存在点P（x，y）满足条件，根据椭圆的方程，列出目标式|AP|²，求出满足条件的最值即可．

解答： 解：（1）设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n），
∵椭圆过M，N两点，
∴

m+ 32 9 n=1 9 2 m+2n=1

，
解得

m= 1 9 n= 1 4

，
∴椭圆的方程为

x2

9

+

y2

4

=1，
∴离心率为e=

c

a

=

9-4

3

=

5

3

；
（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，
由椭圆方程为

x2

9

+

y2

4

=1，得y²=4（1-

x2

9

）；
∴|AP|²=（x-a）²+y²
=（x-a）²+4（1-

x2

9

）
=

5

9

（x-

9

5

a）²+4-

4

5

a²（|x|≤3），
当|

9

5

a|≤3，即0＜a≤

5

3

时，|AP|²的最小值为4-

4

5

a²；
令4-

4

5

a²=1，解得a=±

15

2

∉（0，

5

3

]；
∴

9

5

a＞3，即

5

3

＜a＜3，此时当x=3时，|AP|²的最小值为（3-a）²；
令（3-a）²=1，解得a=2，此时点P的坐标是（3，0）；
∴当a=2时，存在这样的点P满足条件，且P点的坐标是（3，0）．

点评：本题考查了椭圆与直线的位置关系的应用问题，也考查了求最值问题，解题时应注意灵活运用公式解答问题，是中档题．