Question

12．在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
其中的真命题是②③（写出所有真命题的序列）．

Answer 1

分析 利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），则点A′（$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$）的“伴随点”是点（-x，-y），故不正确；
②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；
③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，-y），“伴随点”是点A′（-$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；
④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则
∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），∴$\frac{n}{m}=\frac{-x}{y}$，∴x=-$\frac{bn}{kn+m}$，y=$\frac{bm}{kn+m}$
∵m=$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，∴代入整理可得${m}^{2}+{n}^{2}-\frac{k}{b}$n-1=0表示圆，故不正确．
故答案为：②③．

点评 此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义是解题的关键．