Question

【题目】设双曲线C的焦点在轴上，离心率为，其一个顶点的坐标是（0,1）.

（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；

（Ⅱ）若直线与该双曲线交于A、B两点，且A、B的中点为（2,3），求直线的方程

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（Ⅰ）由顶点坐标是（0，3），求得a，由已知条件双曲线的离心率为，列出方程求出c，利用双曲线的三参数的关系，求出b，据双曲线焦点的位置写出双曲线的方程．
（Ⅱ）设出A，B的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知x1+x2和y1+y2的值，进而求得直线AB的斜率，根据点斜式求得直线的方程．

试题解析：

（1）由已知得

又∴

∴ 双曲线C的标准方程为

（2） 设A、B两点的坐标分别为、，

则 由①-②得：

∴.

∴直线的方程为 经检验满足。