题目内容
定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
②f′（x）是偶函数；
③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设
，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
②f′（x）是偶函数；
③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设
，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx+c
∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴f′（1）=3a+2b+c=0①
由f′（x）是偶函数得：b=0②
又f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，f'（0）=c=﹣1③
由①②③得：
，即 
（Ⅱ）由已知得：存在x∈[1，e]，使
即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx﹣x3+x
设
，则M'（x）=lnx﹣3x2+2
设H（x）=M'（x）=lnx﹣3x2+2，则
∵x∈[1，e]，∴H'（x）＜0，即H（x）在[1，e]递减
于是，H（x）≤H（1），即H（x）≤﹣1＜0，即M'（x）＜0
∴M（x）在[1，e]上递减，
∴M（x）≥M（e）=2e﹣e3
于是有m＞2e﹣e3为所求．
∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴f′（1）=3a+2b+c=0①
由f′（x）是偶函数得：b=0②
又f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，f'（0）=c=﹣1③
由①②③得：
，即 （Ⅱ）由已知得：存在x∈[1，e]，使
即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx﹣x3+x
设
，则M'（x）=lnx﹣3x2+2设H（x）=M'（x）=lnx﹣3x2+2，则
∵x∈[1，e]，∴H'（x）＜0，即H（x）在[1，e]递减
于是，H（x）≤H（1），即H（x）≤﹣1＜0，即M'（x）＜0
∴M（x）在[1，e]上递减，
∴M（x）≥M（e）=2e﹣e3
于是有m＞2e﹣e3为所求．
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