Question

12．已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．
（1）当函数f（x）的图象过点（-1，0），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；
（2）当函数f（x）的图象过点（-1，0），且函数f（x）在区间[-1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若F（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}}$，当mn＜0，m+n＞0，a＞0且函数f（x）为偶函数时，试判断F（m）+F（n）能否大于0？

Answer 1

分析 （1）把x=-1代入解析式列出一个方程，再由函数的值域和二次函数的性质得△=0得一个方程，联立方程求解；
（2）由（1）和条件求出g（x）的解析式，再求出对称轴，根据题意和和二次函数的单调性，列出不等式求解；
（3）由二次函数是偶函数的条件得b=0，代入F（x），再由条件判断出n＜0＜m，表示出F（m）+F（n）化简后判断符号．

解答 解：（1）当函数f（x）的图象过点（-1，0），则a-b+1=0，①
若方程f（x）=0有且只有一个根，
则判别式△=b²-4a=0，②
由①②得a=1，b=2，
则f（x）的表达式为f（x）=x²+2x+1；
（2）当函数f（x）的图象过点（-1，0），则a-b+1=0，即b=a+1．
若函数f（x）在区间[-1，+∞）上单调递增，
则a＞0且对称轴-$\frac{b}{2a}$≤-1，即b≥2a，
则a+1≥2a，得a≤1，
∵a＞0，∴0＜a≤1，
即实数a的取值范围（0，1]；
（3）∵f（x）=ax²+bx+1为偶函数，
∴b=0，即f（x）=ax²+1（a＞0），
∴$F（x）=\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+1，（x＞0）\\-a{x^2}-1，（x＜0）.\end{array}\right.$
∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，
不妨设n＜0＜m，则有0＜-n＜m，
∴m-n＞0，m+n＞0．
∵F（m）+F（n）=am²+1-an²-1=a（m+n）（m-n），
∴F（m）+F（n）＞0．

点评 本题考查了求二次函数解析式，二次函数的单调性和奇偶性的综合应用，考查学生的运算和推理能力，属于中档题．